关于上证指数盒维数的计量与特性研究

在介绍盒维数计量的基础上，对传统的盒维数计算方法进行了改进，以上海证券交易所上证指数1990年12月19日至2002年12月31日时间段中的日线收盘价数据为样本对其非线性特征进行了实证分析，并首次依据盒维数的特性分析了我国股市的监管效果、

　　0引言

　　股市波动是一个由多种因素组成的复杂系统，混沌吸引子是股市混沌与否的重要判据之一．不仅如此，混沌吸引子所具有的特性，如初值敏感性、标度变化下的不变性(分形结构)也为股市预测提供了某些手段．Mandelbmt…首次描述了复杂行为的分形特征．从此学者们就开始将分形理论广泛地应用于各种领域．在理论研究方面，Packard等lJ提出的相空间重构的思想；Takenl3]研究了嵌入定理；Grassberger等利用了嵌入理论和重构相空间技术，提出了从时间序列直接计算关联维数l]和Kolmogorov熵l]的算法；Wolf等提出了轨道跟踪法(trajectoyrtracingmehtod)，用以从时间序列中计算Lyapunov指数．随着混沌理论的发展和分形模型在分岔、非连续和非周期等领域的应用，在解决冲突市场中的非随机和决定性问题上，学者们发现此理论是一种鲁棒的工具．Peters的分形市场假说(Frac．tlaMarketHypothesis，FMH)向有效市场假说(Efif．cientMarketHypsthesis，EMH)发出有力挑战．Man．tegna等，在研究S&P500指数的分布时，发现其分布不服从高斯分布，他们的结论表明：简单的随机分布并不能描述不断变动的经济系统．Kat．suragi发现了日本证券市场存在多吸引子迹象．在我国，自从我国学者陈平将混沌理论应用于金融(货币市场)领域后，有大量的学者对市场收益的非线性问题进行了研究．在理论研究方面，赵贵兵等、王祖林等、杨绍清等、苏菲等、朱晓华等["J从不同角度探讨了非线性方法；在实证研究方面，伍海华等、杨一文等对EMH和FMH进行比较研究；徐龙炳等、叶中行等21应用R／S分析探讨了证券市场的非线性问题；申富饶等[、高红兵等[引、陈国华等应用关联维讨论我国证券市场的非线性特征．本文应用盒维数对我国的资本市场特性进行研究，对上证指数的非线性特征进行了实证分析，并首次依据盒维数的特性分析了我国股市的监管效果．

　　1盒维数(boxdimension)的定义

　　盒维数又称计盒维数(box．counting)，是应用最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的数学计算及其经验估计相对容易一些25．对这种维数的研究可以追溯到上个世纪3o年代，并且对它赋予各种不同的名称：Kolmogorov熵、熵维数、度量维数、对数密度等26．在资本市场中，维数的不同，代表其股票波动的复杂程度不同，维数越大其波动的复杂程度越大，复杂程度大就不好把握，所以维数越大的地方风险也就越大J．

　　设F是上任意非空的有界子集，(F)是直径最大为，可以覆盖F集的最少个数，则F的下、上盒维数分别定义为

　　因此为计算一个平面集F的盒维数，可以构造一些边长为的正方形或称为盒子，然后计算不同值的“盒子”和F相交的个数(F)，这个维数是当一0时，(F)增加的对数斜率．
组：(1，2，…，Ⅳ)中；

　　2)对原始数据进行标准化按照公式(3)对收盘价格进行标准化，得

　　3)确定计盒边长

　　在实际计算中，样本集合的数目有限，的选取应该有一定的范围，当选得小于某个值时，(F)就趋近于所选得样本个数Ⅳ，此时会低估DB；相反，当选得过大，会高估DB[．因此，在给定样本数N后，需要首先确定对应此样本数的．考虑N--维随机序列的计盒维数为1．5，因此在每次计算时，先选取Ⅳ个随机数，组成数组尺=(r1，r2，…，rⅣ)，比照公式(4)进行标准化．然后，设定覆盖盒子的边长分别是

　　3上证指数的盒维数

　　上证指数是我国股票整体走势的晴雨表之一，对它的深入研究有助于把握我国股票走势的整体结构．选用1990年12月19日至2002年12月31日的上证指数共2953个交易日的收盘价作为分析对象，每日收盘价走势图如图1所示．

利用上述方法，分别对上证指数1990年12月19日至2002年12月31日时间段中的Et线、5Et线、10Et线收盘价数据进行了测量，其盒维数分别是D 1=1．3737、D 5=1．3786、D舢=1．3725．三个盒维数几乎相等，都在1．370左右，这是因为它们是自相似的，在一定区间内具有无标度性，所以，它们的维数应该是相等的，只是由于所采用的点的数量不同，在盒维数估算时，出现了一点误差．另外，按年度对上证指数的收盘价进行了盒维数测量，计算结果见表1．计算表明在不同的时段，盒维数有可能相同，也有可能不同．维数的不同，代表其股票波动的复杂程度不同，维数越大其波动的复杂程度越大．从投资者操作的角度考虑，复杂程度越大就越不好把握，进而投资者会更倾向于投资而不是投机；从监管的效果来讲，维数越接近1．5，就表明市场越接近有效市场，说明监管越有效．

　　4结束语

　　由于股票波动曲线具有统计自相似的特性，所以对它的分析可以与标准统计学中的分析有所不同．在标准统计学中，数据点越多越好，因为观测被假定是独立的．而从分形技术的角度看，需要的是更多的时间，而不是更多的数据，隔点采集数据不会影响股票的基本走势，几乎没有丢掉多少信息．这是因为股票波动是一个非线性动力学系统[篮。，而非线性动力学系统的特点是长期相关的．认识到这一点，在实际的数据分析中就可以减小采集的数据量从而增加分析运算的速度．当然，具体数据量应该小到多少还需要进一步的摸索．

　　另外，对一支股票的不同时段，或不同股票的同一时段的盒维数的测定，有助于把握股市的相对复杂性，有助于在实际操盘中避免不必要的风险．再者，考虑到股市波动所具有分形结构，可以利用股市的历史资料总结出分形元来，从而构造相应的分形模型对具体走势进行模拟和预测．当然，从现在的研究看来，根据这种方法，还无法预测某一天的股价的升与降，但是，可以分析出股市波动的动向或趋势，以便能够对必将发生的重大变化作好准备．
 

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